Ensembles finis Exemples

$\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 25$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}^{2} = 25^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 25^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{1} = 25^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 25^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 625$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $625$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 625 = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2 y$ et $c = y^{2} - 625$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Laissez $u = 1 \cdot (y^{2} - 625)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (y^{2} - 625)$ par $u$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} - 4 u$ .

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Étape 3.4.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (y^{2} - 625)$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (1 \cdot (y^{2} - 625)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Simplifiez

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Étape 3.4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.5.1.1

Multipliez $y^{2} - 625$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - y^{2} + 625)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - y^{2} + 625)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.2

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (0 + 625)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.3

Additionnez $0$ et $625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 \cdot 625}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6

Multipliez $4$ par $625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2500}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.7

Réécrivez $2500$ comme $50^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{50^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 2 y \pm 50}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm 50}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 y \pm 50}{2}$ .

$x = - y \pm 25$

Étape 3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - y + 25$

$x = - y - 25$

$x = - y + 25$

$x = - y - 25$